ประวัติของระบบจำนวน

    หากกล่าวถึงคณิตศาสตร์ ทุกคนคงคิดว่าเป็น "ศาสตร์ที่ว่าด้วยเรื่องตัวเลข" ซึ่งอันที่จริงแล้วคำจำกัดความนี้เป็นเพียงคำจำกัดความดั่งเดิมของคณิตศาสตร์เท่านั้น ปัจจุบันคณิตศาสตร์ได้ถูกพัฒนาจนไม่สามารถใช้คำจำกัดความดังกล่าวได้อีกต่อไป ซึ่งหากผู้ที่สนใจอยากรู้ว่าคณิตศาสตร์มีประวัติความเป็นมาอย่างไร มีอะไรมากไปกว่าตัวเลข ก็คงบอกได้แต่เพียงว่า ต้องติดตามกันต่อไป อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้สามารถชี้ให้เห็นถึงรากฐาน และที่มาของคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน นั่นก็คือ ตัวเลข นั่นเอง

           คณิตศาสตร์เริ่มจากเป็นเกร็ดความรู้ที่มนุษย์นำมาใช้ให้เป็นประโยชน์ในการดำรงชีวิตในสมัยสี่พันปีก่อนค่อยๆ มีกฎเกณฑ์ทวีเพิ่มพูนขึ้นตลอดมา คณิตศาสตร์เปรียบเหมือนต้นไม้ นับวันจะผลิดอกออกผลนำประโยชน์มาให้มนุษยชาติ มนุษย์ทุกยุคทุกสมัยสนใจวิชาคณิตศาสตร์ การให้ความรู้ทางคณิตศาสตร์แก่เยาวชนของชาติ  จึงมีความสำคัญอย่างมาก

           ระบบจำนวนจึงเป็นเรื่องของธรรมชาติที่มนุษย์ต้องการใช้ในการนับจำนวน เพื่อจะได้ทราบปริมาณ และเปรียบเทียบค่า หรือใช้ประโยชน์ในชีวิตประจำวันได้มากมายมหาศาล

           ความเป็นอยู่ของผู้คนเกี่ยวข้องกับการทำการเกษตร การเพาะปลูก เมื่อดำเนินการตั้งถิ่นที่อยู่อาศัย ก็ต้องมีการคำนวณพื้นที่ มีการเรียนรู้เรื่องเวลาและฤดูกาล เมื่อเพาะปลูกได้ก็ต้องรับรู้ปริมาณผลผลิตที่ได้รับ จึงมีการตวงข้าวสาลี ข้าวบาเลย์ และเป็นที่มาของมาตราต่าง ๆ ที่ใช้  ชีวิตความเป็นอยู่ของชนทุกชาติจะคุ้นเคยกับหน่วยปริมาณ และมาตราวัดที่แตกต่างกันออกไป

  ชาวไทยคุ้นเคยกับมาตราวัดระยะทางแบบ คืบ ศอก วา เส้น มาก่อน ทำให้หน่วยวัดพื้นที่เป็นไร่  เป็นงาน อย่างไรก็ดีหน่วยวัดปริมาตรของไทยที่คุ้นเคยเดิมคือเป็นถัง เกวียน หรือแม้แต่การแบ่งเวลาก็มีการแบ่งเป็นโมง เป็นยาม

  ในแต่ละชาติ แต่ละภาษาจึงมีมาตรฐานปริมาณของตนเอง มีหน่วยเงินตรา หรือหน่วยใช้ในชีวิตประจำวันต่าง ๆ ที่แตกต่างกัน แต่เมื่อมีการคบค้าสมาคมกันระหว่างประเทศ มีการค้าขายแลกเปลี่ยน ทำให้การดำเนินชีวิตที่ต้องมีมาตรฐานกลาง หรือหน่วยวัดกลางและเป็นที่ยอมรับกันทั่วโลก

           แน่นอนทีเดียวที่แต่ละประเทศย่อมมีสัญลักษณ์แทนตัวเลขที่แตกต่างกันไป จึงขอเริ่มต้นประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ด้วยตัวเลขที่แต่ละอารยะธรรมคิดค้นขึ้นแต่ละยุคสมัย

วิวัฒนาการของระบบจำนวน

สมัยอียิปต์โบราณ (Civilization of Ancient Egypt)

           อียิปต์โบราณ หรือ ไอยคุปต์ เป็นหนึ่งในอารยธรรมที่เก่าแก่ที่สุดในโลก ตั้งอยู่ทางตอนตะวันออกเฉียงเหนือของทวีปแอฟริกา มีพื้นที่ตั้งแต่ตอนกลางจนถึงปากแม่น้ำไนล์ ปัจจุบันเป็นที่ตั้งของประเทศอียิปต์ อารยธรรมอียิปต์โบราณเริ่มขึ้นประมาณ 3,150 ปีก่อนคริสต์ศักราช โดยการรวมอำนาจทางการเมืองของอียิปต์ตอนเหนือและตอนใต้ ภายใต้ฟาโรห์องค์แรกแห่งอียิปต์ และมีการพัฒนาอารยธรรมเรื่อยมากว่า 3,000 ปี ประวัติของอียิปต์โบราณปรากฏขึ้นในช่วงระยะเวลาหนึ่ง หรือที่รู้จักกันว่า "ราชอาณาจักร" มีการแบ่งยุคสมัยของอียิปต์โบราณเป็นราชอาณาจักร ส่วนมากแบ่งตามราชวงศ์ที่ขึ้นมาปกครอง จนกระทั่งราชอาณาจักรสุดท้าย หรือที่รู้จักกันในชื่อว่า "ราชอาณาจักรใหม่" อารยธรรมอียิปต์อยู่ในช่วงที่มีการพัฒนาที่น้อยมาก และส่วนมากลดลง ซึ่งเป็นเวลาเดียวกันที่อียิปต์พ่ายแพ้ต่อการทำสงครามจากอำนาจของชาติอื่น จนกระทั่งเมื่อ 31 ปีก่อนคริสต์ศักราชก็เป็นการสิ้นสุดอารยธรรมอียิปต์โบราณลง เมื่อจักรวรรดิโรมันสามารถเอาชนะอียิปต์ และจัดอียิปต์เป็นเพียงจังหวัดหนึ่งในจักรวรรดิโรมัน
           อารยธรรมอียิปต์พัฒนาการมาจากสภาพของลุ่มแม่น้ำไนล์ การควบคุมระบบชลประทาน, การควบคุมการผลิตพืชผลทางการเกษตร พร้อมกับพัฒนาอารยธรรมทางสังคม และวัฒนธรรม พื้นที่ของอียิปต์นั้นล้อมรอบด้วยทะเลทรายเสมือนปราการป้องกันการรุกรานจากศัตรูภายนอก นอกจากนี้ยังมีการทำเหมืองแร่ และอียิปต์ยังเป็นชนชาติแรกๆที่มีการพัฒนาการด้วยการเขียน ประดิษฐ์ตัวอักษรขึ้นใช้ ,การบริหารอียิปต์เน้นไปทางสิ่งปลูกสร้าง และการเกษตรกรรม พร้อมกันนั้นก็มีการพัฒนาการทางทหารของอียิปต์ที่เสริมสร้างความแข็งแกร่งแก่ราชอาณาจักร โดยประชาชนจะให้ความเคารพกษัตริย์หรือฟาโรห์เสมือนหนึ่งเทพเจ้า ทำให้การบริหารราชการบ้านเมืองและการควบคุมอำนาจนั้นทำได้อย่างมีประสิทธิภาพ

           ชาวอียิปต์โบราณไม่ได้เป็นเพียงแต่นักเกษตรกรรม และนักสร้างสรรค์อารยธรรมเท่านั้น แต่ยังเป็นนักคิด, นักปรัชญา ได้มาซึ่งความรู้ในศาสตร์ต่างๆมากมายตลอดการพัฒนาอารยธรรมกว่า 3,000 ปี ทั้งในด้านคณิตศาสตร์, เทคนิคการสร้างพีระมิด, วัด, โอเบลิสก์, ตัวอักษร และเทคนิคโลยีด้านกระจก                    นอกจากนี้ยังมีการพัฒนาประสิทธิภาพทางด้านการแพทย์, ระบบชลประทานและการเกษตรกรรม อียิปต์ทิ้งมรดกสุดท้ายแก่อนุชนรุ่นหลังไว้คือศิลปะ และสถาปัตยกรรม ซึ่งถูกคัดลอกนำไปใช้ทั่วโลก อนุสรณ์สถานที่ต่างๆในอียิปต์ต่างดึงดูดนักท่องเที่ยว นักประพันธ์กว่าหลายศตวรรษที่ผ่านมา ปัจจุบันมีการค้นพบวัตถุใหม่ๆในอียิปต์มากมายซึ่งกำลังตรวจสอบถึงประวัติความเป็นมา เพื่อเป็นหลักฐานให้แก่อารยธรรมอียิปต์ และเป็นหลักฐานแก่อารยธรรมของโลกต่อไป
          ในสมัยโบราณ อียิปต์เป็นชาติที่เจริญรุ่งเรืองทางด้านศิลปวิทยาการก่อนชาติอื่นๆ ชาวอียิปต์รู้จักบันทึกจำนวนโดยใช้สัญลักษณ์ต่างๆ โดยการเขียนสัญลักษณ์แทนจำนวนของชาวอียิปต์ ใช้วิธีรวมค่าของสัญลักษณ์เหล่านั้น จะไม่คำนึงถึงตำแหน่งของสัญลักษณ์ ดังนั้น จำนวนเดียวกันอาจจะเขียนสัญลักษณ์สลับที่เป็นแบบต่างๆ ได้

                                                    

           อียิปต์โบราณ มีอาณาเขตครอบคลุมที่ราบลุ่มแม่น้ำไนล์จากเมืองแอสวาน (Aswan) จนจรดชายฝั่งทะเลเมดิเตอร์เรนียนของประเทศอียิปต์  อียิปต์โบราณเป็นอารยธรรมหนึ่งที่เก่าแก่ที่สุดในโลก และเป็นอารยธรรมแรกที่ส่งเสริมวิทยาศาสตร์ ชาวอียิปต์โบราณให้ความสำคัญอย่างมากกับการจดบันทึก และการสื่อสารจึงได้ประดิษฐ์กระดาษปาปิรุส (papyrus) ขึ้น ที่มีอายุ 3,850 ปี กระดาษปาปิรุสทำมาจากต้นกกที่เติบโตอย่างแพร่หลายในแถบลุ่มแม่น้ำไนล์  

          ในพีระมิดได้แสดงให้เรา ณ วันนี้เห็นว่า ชาวอียิปต์รู้จักเลขเศษส่วน รู้วิธีแบ่งขนมปังในอัตราส่วนต่างๆ รู้วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม รู้วิธีหาปริมาตรของทรงกระบอก เมื่อมีการกำหนดความยาวเส้นผ่าศูนย์กลาง และส่วนสูงของทรงกระบอกมาให้ นอกจากนี้นักคณิตศาสตร์อียิปต์ยังได้พบว่าอัตราส่วนระหว่างความยาวของเส้นรอบวง/เส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมใดๆ มีค่า 256/81 หรือ 3.16

               ชาวอียิปต์โบราณสื่อความหมายด้วยอักษรภาพที่เรียกว่า ไฮโรกลิฟ (Hieroglyph) ซึ่งรวมไปถึงตัวเลขด้วย อักษรภาพแทนตัวเลขต่างๆ มีดังนี้ 

ยุคบาบิโลน (Babylon)

 บาบิโลนเป็นนครของชาวเซไมท์กลุ่มหนึ่ง อยู่ทางภาคใต้ของบริเวณเมโสโปเตเมีย เมื่อประมาณ 2,350 ก่อน คริสต์ศักราช ซึ่งพัฒนาต่อๆมาเป็นนครใหญ่และสวยงามมากแห่งหนึ่งของโลก มีกำแพงเมืองล้อมรอบตัวเมืองเป็นระยะทางเกือบ 8 กิโลเมตร มีหอคอยกั้นระหว่างกำแพงเป็นระยะๆ มีประตูเมือง 8 แห่ง เข้าสู่ภายในเมือง ตัวอาคารสร้างด้วยอิฐ ตรงประตูเมืองวาดภาพเป็นรูปสัตว์นับร้อยๆ ภาพ ตกแต่งสวยงาม มีถนนบนกำแพงเมืองกว้างพอให้ทหารเดินไปรอบๆเมือง เพื่อป้องกันข้าศึก
            ชาวกรีกได้บันทึกไว้ว่ากำแพงเมืองบาบิโลนสูง 700 ฟุต มีความหนามาก จนส่วนบนของกำแพงกว้างพอให้รถศึกเทียมด้วยม้า4ตัว วิ่งไปบนส่วนของกำแพงได้ แต่ข้อมูลนี้ถูกโต้แย้งในเรื่องของความสูงว่าจริงๆ  แล้วอาจบันทึกผิด น่าจะสูงแค่ 70 เมตร 

 อารยธรรมยิ่งใหญ่ของบาบิโลนที่ทิ้งไว้ให้แก่มนุษยชาติ สำคัญๆได้แก่ กฏหมายของบาลิโลนที่มีความยุติธรรมและเขียนจารึกไว้บนแผ่นดินเหนียวซึ่งยังคงเหลือมาถึงทุกวันนี้ โดยกษัตริย์ฮัมมุรัมบี ตรากฏหมายเรื่องต่างๆ เช่น การสมรส โจรกรรม หนี้สิน การจราจรทางน้ำ ค่าจ้างแรงงาน การรักษาคลอง กฏหมายกำหนดราคา ฯลฯ เหล่านี้เป็นกฏหมายที่ยุติธรรมแต่บทลงโทษโหดเ้ยม ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของกฏหมายที่ดี จนกระทั่งโรมันนำมาใช้ทั่วจักรวรรดิโรมัน และประเทศยุโรปยังเอากฎหมายโรมันมาใช้อยู่ในปัจจุบัน
           บาบิโลนและอัสซีเรีย 2 จักรวรรดิของชาวเซไมท์ในเมโสโปเตเมียดินแดนแห่งลุ่มน้ำไทกรีส ยูเฟรตีส ได้เจริญรุ่งเรืองอยู่ช่วงเวลาหนึ่ง และทิ้งอารยธรรมไว้แก่โลกก่อนที่จะถูกมหาอำนาจใหม่ในตะวันออกกลาง คือ เปอร์เซีย ได้ทำลายทั้งอัสซีเรีย(ปี 612 ก่อน ค.ศ.) และบาบิโลน (ปี 539 ก่อน ค.ศ.)

 ชาวบาบิโลน (ประเทศอิรักในปัจจุบัน) และชาวอียิปต์รู้จักเขียนสัญลักษณ์แทนจำนวน รู้จักเลข เศษส่วน รู้จักใช้ลูกคิดบวก ลบ คูณ หารตัวเลข ความรู้เกี่ยวกับจำนวนได้นำมาใช้ในการติดต่อค้าขาย การเก็บภาษี การรู้จักทำปฏิทิน และการรู้จักใช้มาตรฐานเกี่ยวกับเวลา เช่น 1 ปีมี 365 วัน 1 วันมี 24 ชั่วโมง 1 ชั่วโมงมี 60 นาที  1 นาทีมี 60 วินาที ความรู้ทางเรขาคณิต เช่น การวัดระยะทาง การวัดมุม นำมาใช้ในการก่อสร้างและการรังวัดที่ดิน เขาสนใจคณิตศาสตร์ในด้านนำไปใช้ให้เป็นประโยชน์ได้เท่านั้น

   จากหลักฐานทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดของอารยธรรมมนุษย์ในยุคบาบิโลน ซึ่งอยู่ในช่วงเวลาประมาณห้าพันปีที่แล้ว ชาวบาบิโลนมีอารยธรรมที่เก่าแก่อยู่แถบลุ่มแม่น้ำยูเฟรติส ได้ใช้ตัวเลขการนับด้วยฐานหกสิบ และแบ่งหน่วยเวลาเป็นมาตรา 60 ดังที่เราใช้กันมาในเรื่องเวลา และใช้แบ่งวงกลมเป็นองศา ฟิลิปดา เป็นต้น

           ตัวเลขแทนเวลาจะเขียนได้เป็น 5h 25' 30" มีความหมายว่า 5 ชั่วโมง 25 นาที 30 วินาที หรือเขียนในฐาน 60 เป็น 5 25/60 30/3600 ซึ่งถ้าเขียนเป็นตัวเลขฐานสิบจะได้ 5 4/10  2/100  5/1000

           ชีวิตความเป็นอยู่ของคนเกี่ยวข้องกับการนับและปริมาณ หน่วยนับจึงมีความสำคัญ เพราะการสื่อสารเพื่อจะบอกปริมาณระหว่างกันจำเป็นต้องมีหน่วยนับ ลองจินตนาการดูว่ามนุษย์ชาวบาบิโลเนียยังไม่รู้จักกับตัวเลขทศนิยม รู้จักแต่จำนวนเต็ม และมีฐานหกสิบ หลักฐานที่สำคัญที่ยืนยันว่าชาวบาบิโลเนียใช้เลขฐานหกสิบ ก็คือมีการค้นพบตารางคำนวณที่ลุ่มน้ำยูเฟรติสในปี ค.ศ. 1854 ตารางที่พบเป็นตารางตัวเลขยกกำลังสอง เช่น 8² = 1  4 ซึ่งมีความหมายเป็น 8² = 1  4 = 1 x 60 + 4 = 64 หรือตัวอย่าง 59² = 58  1 (=58 x 60 + 1 = 3481)

  สิ่งที่น่าประหลาดใจคือ ชาวบาบิโลเนียรู้จักวิธีการคูณและหารตัวเลขแล้ว แต่การคูณและหารตัวเลขยังมีลักษณะที่ใช้ตารางยกกำลังสองของตัวเลขที่ทำขึ้น โดยสมมุติว่า ต้องการคูณตัวเลข a และ b                                                         
            ชาวบาบิโลเนียใช้หลักการของการยกกำลังสองของตัวเลขที่ได้จากตาราง  โดยใช้หลักการ 

a.b = ((a+b)2-a2-b2)/2

จากหลักการนี้เขียนได้ -->

a.b = (a+b)2/4 - (a-b)2/4

            เช่น ถ้าต้องการผลลัพธ์ของ      5.3   จะได้    (64/4)  -  4/4  =  15
            ลองจินตนาการดูว่าชีวิตความเป็นอยู่ของชาวบาบิโลเนียที่เกี่ยวข้องกับเลขฐานหกสิบ แม้แต่หน่วยเงินก็เป็น 60 และแบ่งย่อยเป็นหกสิบ แต่หากแบ่งส่วนย่อยบางส่วนลงไป เช่น 1/13 ซึ่งมีค่าเท่ากับ 7/91 ซึ่งถ้าคิดโดยประมาณก็จะเป็น 7/90

            ข้อสังเกต             ตัวเลขบาบิโลน เป็นตัวเลขในระบบฐานหกสิบ เมื่อนำสัญลักษณ์ตัวเดิมไปวางไว้ในตำแหน่งหรือหลักที่ต่างกัน จะได้ค่าต่างกัน เนื่องจากชาวบ้านบาบิโลนยังไม่รู้จักใช้สัญลักษณ์ศูนย์ จึงมีข้อยุ่งยากของการใช้ตัวเลขในระบบนี้ คือถ้าจำนวนในหลักใดขาดหายไป จะทำให้เกิดความสับสนในการอ่านและการเขียน 

ระบบจำนวน (Number Systems)

1. จำนวนและตัวเลข

                การผลิตหรือสร้างเครื่องคำนวณได้แนวคิดมาจาก

        1.    การจดและนับตัวเลขแบบง่ายๆ ไม่มีการใช้ตัวเลข ชาวกรีกใช้การนับนิ้ว หรือลูกหินแทน

        2.     การใช้รูปภาพแทนตัวเลขในสมัยอิยิปต์ (egypt) เช่น

        3.     ชาวบาบิโลเนีย ใช้ลิ่มเป็นสัญลักษณ์ของตัวเลข โดยระบบของจำนวนเลข

     มีสัญลักษณ์ 2 ตัว คือ     

        4.     สมัยโรมันเริ่มมีการใช้เลขโรมัน ปัจจุบันก็ยังมีใช้อยู่ เช่น

ตัวอย่างการแทนค่าด้วยเลขโรมัน

    5.     ระบบเลขอารบิก  ระบบเลขฐานปัจจุบันพัฒนามาจาก Hindui – Arabic

6.     ลูกคิดเป็นเครื่องมือที่ช่วยในการคำนวณ ซึ่งคิดค้นโดยชาวจีนเมื่อประมาณ 3,000 ปีมาแล้ว ซึ่งคือพื้นฐานของคอมพิวเตอร์ระบบดิจิตอลนั่นเอง

7.     ค.ศ. 1614  John Napier นักคณิตศาสตร์ชาวสกอต ได้สร้างตาราง Logarithms ฐาน e

8.     ค.ศ. 1622  William Ougthred นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ  ใช้แนวความคิด John คิดค้นทำ Slide Rule ขึ้นช่วยในการคูณ

9.     ค.ศ. 1642  Blaise Pascal  นักปรัชญาและวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสได้สร้างเครื่องมือในการบวกเลขเครื่องแรกโดยใช้ฟันเฟืองเข้าช่วยในการทด

2.  โครงสร้างของระบบจำนวน

   3.  จำนวนจริง (Real Numbers)

            ในขณะนี้มีจำนวนเพียง 2 ประเภทใหญ่ๆ คือ เซตของจำนวนตรรกยะ และเซตของจำนวนอตรรกยะ ผลรวมหรือผลผนวกของเซตทั้งสองนี้เรียกว่า เซตของจำนวนจริง เขียนแทนด้วย R และคุณสมบัติต่างๆ ดังนี้

1.   คุณสมบัติปิด (Closure proerties) ถ้า a, b ∊  R

1.1  การบวก                a+b   ∊  R

1.2 การคูณ                   a.b   ∊  R

2.   คุณสมบัติการสลับที่ (Commutative properties) ถ้า a, b ∊  R

2.1  การบวก                a+b   =  b+a

2.2 การคูณ                   a.b    =  b.a

3.   คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม (Associative properties) ถ้า a, b, c  ∊  R

3.1  การบวก                a+(b+c)   =  (a+ b)+c

3.2 การคูณ                   a. (b .c )   =  (a . b) . c

4.   คุณสมบัติการแจกแจง (Distributive properties) ถ้า a, b, c  ∊  R

4.1  การบวก                a+(b . c)    =  (a+ b) . (a+c)

4.2 การคูณ                   a. (b + c )   =  (a . b) + (a . c)

5.   คุณสมบัติการมีเอกลักษณ์ (Identity properties) ถ้า a  ∊  R

5.1  เอกลักษณ์ของการบวก      คือ           0              เนื่องจาก  a + 0 = a

5.2 เอกลักษณ์ของการคูณ         คือ           1              เนื่องจาก  a . 1 = a

6.   คุณสมบัติการมีจำนวนผกผัน (Inverse)

6.1  การบวก                ถ้าให้      a  ∊  R   จะมี      -a ∊  R   จะทำให้

        a + (-a)   =   (-a) + a  =   0             และเรียก  -a   ว่า เป็นจำนวนผกผัน

6.2  การคูณ                  ถ้าให้      a  ∊  R   ที่  a ≠ 0 จะมี   1/a  ซึ่งทำให้       a  .   1/a  =   1/a   .  a   =   1   และเรียก    1/a   ว่าเป็นจำนวนผกผันของการคูณของ a

  5. จำนวนตรรกยะ (Relation Numbers)

                จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูป  a/b  โดยที่ a, b เป็นจำนวนเต็ม และ b ≠ 0 และเรียก a/b ว่า เศษส่วน (Fraction) เรียก a ว่า ตัวเศษ (Numerator) และเรียก b ว่า ตัวส่วน (Denominator) นั่นคือจำนวนตรรกยะ จะประกอบด้วยด้วยจำนวนเต็ม และจำนวนเศษส่วน เช่น -7 , 3/5  ,  1/2  , 20 เป็นต้น

                เซตของจำนวนตรรกยะ จะมีคุณสมบัติภายใต้การบวก และการคูณ เช่นเดียวกับเซตของจำนวนเต็ม  กล่าวคือ  มีคุณสมบัติปิด สลับที่ จัดหมู่ แจกแจง การมีเอกลักษณ์ จำนวนผกผันของการบวก จำนวนผกผันของการคูณ

ตัวอย่าง 1.1          จำนวนผกผันของการคูณ 1/a  คือ  a

                                เพราะว่า     1/a  .  a  = 1  ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ของการคูณ

                เนื่องจากจำนวนตรรกยะอาจเป็นทั้งจำนวนเต็ม และเศษส่วน ดังนั้นจำนวนตรรกยะอาจเขียนได้ในเทอมของทศนิยม และอาจอยู่ในรูปทศนิยมรู้จบ หรือทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำกันเป็นชุดก็ได้ เช่น 2/3  = 0.6 (ทศนิยมรู้จบ),  2/3  = 1.66.. (ทศนิยมไม่รู้จบ)
6. จำนวนอตรรกยะ (Irrational Numbers)

                จำนวนอตรรกยะ  คือ  จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเศษส่วนได้  เช่น  a/b  ; b ≠ 0 เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็ม รวมถึงทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ รากที่ถอดได้ไม่ลงตัว หรือเป็นจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะจำแนกได้ดังนี้

1.   จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำกันไม่รู้จบ

เช่น                                1.1707168…

                                      0.4455235…

2.   จำนวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์ และไม่สามารถหาค่าให้เป็นจำนวนตรรกยะได้

เช่น                   

                                    

3.    จำนวน           

                                    

7. จำนวนเต็ม (Integer Numbers)

                จำนวนเต็ม  คือ  จำนวนที่เป็นเลขไม่มีเศษ เช่น -5 , 0 , 3 เป็นต้น

สัญลักษณ์

                I              แทนจำนวนเต็ม  เช่น  … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , …

                I^-             แทนจำนวนเต็มลบ  เช่น -1 , -2 , -3 , -4 , …

                I⁺                   แทนจำนวนเต็มบวก  เช่น  1, 2 , 3 , 4 ,…

                N             แทนจำนวนธรรมชาติ หรือจำนวนนับ เช่น 1, 2 , 3 , 4 ,…

8. จำนวนเต็มบวก และศูนย์  (Whole Numbers)

                ให้ w แทนเซตของจำนวนเต็มบวก และศูนย์

                ดังนั้น w = { 0, 1, 2, 3, …}

                สำหรับคุณสมบัติการบวกและการคูณ จะเป็นเช่นเดียวกับจำนวนนับ แต่มีจำนวนศูนย์ โดยมีคุณสมบัติดังนี้

1.             ให้ a ∊ w                     a + 0  =  0 + a  =  a

2.             ให้ a ∊ w                     a – 0  =  a

3.             ให้ a ∊ w                     0/a   =  0

0/a  ไม่สามารถหาคำตอบได้  ซึ่งนั่น ให้นิยามไม่ได้  เพราะโดยธรรมชาติไม่มีการหารจำนวนใดๆด้วยศูนย์ ซึ่งเป็นจำนวน จำนวนหนึ่ง  ให้  0/0   =  r  จะได้  r .0 = 0  ดังนั้น r  จะเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ทั้งนั้นหมายความว่า  0/0   ไม่ค่าไม่แน่นอน ผลหารในกรณีนี้ ไม่เป็นที่ยอมรับในคณิตศาสตร์ จึงไม่มีการหาร 0 ด้วย 0 และ w ก็มีคุณสมบัติเช่นเดียวกับเซตจำนวนนับ

9. จำนวนนับ หรือจำนวนธรรมชาติ หรือจำนวนเต็มบวก  (Counting or Natural or Positive Integers)

                จำนวนนับ  เรียกอีกอย่างว่า  จำนวนธรรมชาติ  หรือจำนวนเต็มบวก  มนุษย์จำนวนนับ หรือจำนวนธรรมชาติไปใช้ในชีวิตประจำวันมากที่สุด  ในการแลกเปลี่ยน  ซื้อ – ขาย  หรือการนับ  และมนุษย์จะนับเลขเริ่มจาก 1, 2, 3, 4, 5, … ไปเรื่อยๆ เสมอไม่นิยมนับเลข -1, -2, -3, -4 นอกจาก นำมาใช้ในบางกรณีเท่านั้น  ดังนั้น เราจึงละไว้ในฐานที่เข้าใจว่า  จำนวนนับ คือ จำนวนธรรมชาติ และจำนวนเต็มบวก

                ให้ N  แทนเซตของจำนวนนับ  สมาชิกของ N คือ 1, 2, 3, 4, …

                นั่นคือ  N  = {1, 2, 3, 4, …}

10. เส้นจำนวน (Number Line)

                ลากเส้นตรงเส้นหนึ่ง  เกิดจากจุดหลายๆ จุดมาเรียงต่อกันไปตามแนวตั้ง หรือแนวนอนก็ได้ โดยเริ่มจากจุดกำเนิด (Origin) ซึ่งถือว่าเป็นจุดเดียวกับจำนวนจริง 0 ดังนั้น บนเส้นตรงให้มีจุดนี้แทนจำนวนศูนย์จุด บนเส้นตรงขวามือของ 0 เป็นจำนวนเต็มบวกแทนด้วย 1, 2, 3, 4, … โดยมีระยะห่างจาก 0 เป็น 1 หน่วย , 2 หน่วย , 3 หน่วย , ... ตามลำดับ และเลือกจุดบนเส้นจำนวนทางซ้ายมือของ 0 เป็นจำนวนเต็มลบแทนด้วย -1, -2 , -3 ,… โดยมีระยะห่างจาก 0 เป็น 1 หน่วย , 2 หน่วย , 3 หน่วย , ... ตามลำดับ ดังรูป

ถ้ากำหนดจำนวนจริงจำนวนหนึ่งมาให้ จะมีจุดบนเส้นตรงนี้เพียงจุดเดียวเท่านั้นที่แทนจำนวนนั้นได้  เช่น    1/2  จะแทนที่ด้วยจุดที่อยู่ทางขวามือของ  0  ห่างจาก  0  เป็นระยะทาง  1/2  หน่วย -
  แทนได้ด้วยจุดที่อยู่ทางซ้ายมือของ 0 และห่างจาก 0 เป็นระยะทาง     หน่วย

ในทางตรงกันข้ามเมื่อกำหนดจุดๆหนึ่ง บนเส้นตรงมาให้  ก็จะมีจำนวนจริงจำนวนเดียวเท่านั้นแทนที่ด้วยจุดที่กำหนดให้ กล่าวคือ สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสมาชิกในเซตของจุดบนเส้นตรง และเรียกเส้นตรงนี้ว่าเส้นจำนวน

จากเส้นจำนวนเราสามารถเห็นภาพของจำนวนต่างๆ เหล่านั้นโดยชัดเจนว่าจำนวนใดมากหรือน้อยกว่ากัน โดยให้ถือหลักว่าจำนวนที่อยู่ทางขวามือ ย่อมมีค่ามากกว่าจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือ เช่น -2 มีค่าน้อยกว่า -1 เพราะว่า -1 อยู่ทางขวามือของ -2

a กับ –a อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะทางเท่ากัน แต่อยู่คนละข้างของ 0 ดังนั้น  มีเพียงจำนวนเดียวเท่านั้นเป็นจำนวนตรงข้ามของจำนวนจริง a ถ้า a เป็นจำนวนบวก –a จะเป็นจำนวนลบ และถ้า a เป็นจำนวนลบ –a จะเป็นจำนวนบวก

ตัวอย่าง 1.2

                ถ้า  a  =  3            แล้ว        -a  =  -3

                ถ้า  a  = -5            แล้ว        -a  = -(-5)

                แต่จำนวนตรงข้ามของ  -5  คือ  5  ดังนั้นจะได้ว่า  -(-5)  = 5