ระบบจำนวน (Number Systems)

1. จำนวนและตัวเลข

                การผลิตหรือสร้างเครื่องคำนวณได้แนวคิดมาจาก

        1.    การจดและนับตัวเลขแบบง่ายๆ ไม่มีการใช้ตัวเลข ชาวกรีกใช้การนับนิ้ว หรือลูกหินแทน

        2.     การใช้รูปภาพแทนตัวเลขในสมัยอิยิปต์ (egypt) เช่น

        3.     ชาวบาบิโลเนีย ใช้ลิ่มเป็นสัญลักษณ์ของตัวเลข โดยระบบของจำนวนเลข

     มีสัญลักษณ์ 2 ตัว คือ     

        4.     สมัยโรมันเริ่มมีการใช้เลขโรมัน ปัจจุบันก็ยังมีใช้อยู่ เช่น

ตัวอย่างการแทนค่าด้วยเลขโรมัน

    5.     ระบบเลขอารบิก  ระบบเลขฐานปัจจุบันพัฒนามาจาก Hindui – Arabic

6.     ลูกคิดเป็นเครื่องมือที่ช่วยในการคำนวณ ซึ่งคิดค้นโดยชาวจีนเมื่อประมาณ 3,000 ปีมาแล้ว ซึ่งคือพื้นฐานของคอมพิวเตอร์ระบบดิจิตอลนั่นเอง

7.     ค.ศ. 1614  John Napier นักคณิตศาสตร์ชาวสกอต ได้สร้างตาราง Logarithms ฐาน e

8.     ค.ศ. 1622  William Ougthred นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ  ใช้แนวความคิด John คิดค้นทำ Slide Rule ขึ้นช่วยในการคูณ

9.     ค.ศ. 1642  Blaise Pascal  นักปรัชญาและวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสได้สร้างเครื่องมือในการบวกเลขเครื่องแรกโดยใช้ฟันเฟืองเข้าช่วยในการทด

2.  โครงสร้างของระบบจำนวน

   3.  จำนวนจริง (Real Numbers)

            ในขณะนี้มีจำนวนเพียง 2 ประเภทใหญ่ๆ คือ เซตของจำนวนตรรกยะ และเซตของจำนวนอตรรกยะ ผลรวมหรือผลผนวกของเซตทั้งสองนี้เรียกว่า เซตของจำนวนจริง เขียนแทนด้วย R และคุณสมบัติต่างๆ ดังนี้

1.   คุณสมบัติปิด (Closure proerties) ถ้า a, b ∊  R

1.1  การบวก                a+b   ∊  R

1.2 การคูณ                   a.b   ∊  R

2.   คุณสมบัติการสลับที่ (Commutative properties) ถ้า a, b ∊  R

2.1  การบวก                a+b   =  b+a

2.2 การคูณ                   a.b    =  b.a

3.   คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม (Associative properties) ถ้า a, b, c  ∊  R

3.1  การบวก                a+(b+c)   =  (a+ b)+c

3.2 การคูณ                   a. (b .c )   =  (a . b) . c

4.   คุณสมบัติการแจกแจง (Distributive properties) ถ้า a, b, c  ∊  R

4.1  การบวก                a+(b . c)    =  (a+ b) . (a+c)

4.2 การคูณ                   a. (b + c )   =  (a . b) + (a . c)

5.   คุณสมบัติการมีเอกลักษณ์ (Identity properties) ถ้า a  ∊  R

5.1  เอกลักษณ์ของการบวก      คือ           0              เนื่องจาก  a + 0 = a

5.2 เอกลักษณ์ของการคูณ         คือ           1              เนื่องจาก  a . 1 = a

6.   คุณสมบัติการมีจำนวนผกผัน (Inverse)

6.1  การบวก                ถ้าให้      a  ∊  R   จะมี      -a ∊  R   จะทำให้

        a + (-a)   =   (-a) + a  =   0             และเรียก  -a   ว่า เป็นจำนวนผกผัน

6.2  การคูณ                  ถ้าให้      a  ∊  R   ที่  a ≠ 0 จะมี   1/a  ซึ่งทำให้       a  .   1/a  =   1/a   .  a   =   1   และเรียก    1/a   ว่าเป็นจำนวนผกผันของการคูณของ a

  5. จำนวนตรรกยะ (Relation Numbers)

                จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูป  a/b  โดยที่ a, b เป็นจำนวนเต็ม และ b ≠ 0 และเรียก a/b ว่า เศษส่วน (Fraction) เรียก a ว่า ตัวเศษ (Numerator) และเรียก b ว่า ตัวส่วน (Denominator) นั่นคือจำนวนตรรกยะ จะประกอบด้วยด้วยจำนวนเต็ม และจำนวนเศษส่วน เช่น -7 , 3/5  ,  1/2  , 20 เป็นต้น

                เซตของจำนวนตรรกยะ จะมีคุณสมบัติภายใต้การบวก และการคูณ เช่นเดียวกับเซตของจำนวนเต็ม  กล่าวคือ  มีคุณสมบัติปิด สลับที่ จัดหมู่ แจกแจง การมีเอกลักษณ์ จำนวนผกผันของการบวก จำนวนผกผันของการคูณ

ตัวอย่าง 1.1          จำนวนผกผันของการคูณ 1/a  คือ  a

                                เพราะว่า     1/a  .  a  = 1  ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ของการคูณ

                เนื่องจากจำนวนตรรกยะอาจเป็นทั้งจำนวนเต็ม และเศษส่วน ดังนั้นจำนวนตรรกยะอาจเขียนได้ในเทอมของทศนิยม และอาจอยู่ในรูปทศนิยมรู้จบ หรือทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำกันเป็นชุดก็ได้ เช่น 2/3  = 0.6 (ทศนิยมรู้จบ),  2/3  = 1.66.. (ทศนิยมไม่รู้จบ)
6. จำนวนอตรรกยะ (Irrational Numbers)

                จำนวนอตรรกยะ  คือ  จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเศษส่วนได้  เช่น  a/b  ; b ≠ 0 เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็ม รวมถึงทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ รากที่ถอดได้ไม่ลงตัว หรือเป็นจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะจำแนกได้ดังนี้

1.   จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำกันไม่รู้จบ

เช่น                                1.1707168…

                                      0.4455235…

2.   จำนวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์ และไม่สามารถหาค่าให้เป็นจำนวนตรรกยะได้

เช่น                   

                                    

3.    จำนวน           

                                    

7. จำนวนเต็ม (Integer Numbers)

                จำนวนเต็ม  คือ  จำนวนที่เป็นเลขไม่มีเศษ เช่น -5 , 0 , 3 เป็นต้น

สัญลักษณ์

                I              แทนจำนวนเต็ม  เช่น  … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , …

                I^-             แทนจำนวนเต็มลบ  เช่น -1 , -2 , -3 , -4 , …

                I⁺                   แทนจำนวนเต็มบวก  เช่น  1, 2 , 3 , 4 ,…

                N             แทนจำนวนธรรมชาติ หรือจำนวนนับ เช่น 1, 2 , 3 , 4 ,…

8. จำนวนเต็มบวก และศูนย์  (Whole Numbers)

                ให้ w แทนเซตของจำนวนเต็มบวก และศูนย์

                ดังนั้น w = { 0, 1, 2, 3, …}

                สำหรับคุณสมบัติการบวกและการคูณ จะเป็นเช่นเดียวกับจำนวนนับ แต่มีจำนวนศูนย์ โดยมีคุณสมบัติดังนี้

1.             ให้ a ∊ w                     a + 0  =  0 + a  =  a

2.             ให้ a ∊ w                     a – 0  =  a

3.             ให้ a ∊ w                     0/a   =  0

0/a  ไม่สามารถหาคำตอบได้  ซึ่งนั่น ให้นิยามไม่ได้  เพราะโดยธรรมชาติไม่มีการหารจำนวนใดๆด้วยศูนย์ ซึ่งเป็นจำนวน จำนวนหนึ่ง  ให้  0/0   =  r  จะได้  r .0 = 0  ดังนั้น r  จะเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ทั้งนั้นหมายความว่า  0/0   ไม่ค่าไม่แน่นอน ผลหารในกรณีนี้ ไม่เป็นที่ยอมรับในคณิตศาสตร์ จึงไม่มีการหาร 0 ด้วย 0 และ w ก็มีคุณสมบัติเช่นเดียวกับเซตจำนวนนับ

9. จำนวนนับ หรือจำนวนธรรมชาติ หรือจำนวนเต็มบวก  (Counting or Natural or Positive Integers)

                จำนวนนับ  เรียกอีกอย่างว่า  จำนวนธรรมชาติ  หรือจำนวนเต็มบวก  มนุษย์จำนวนนับ หรือจำนวนธรรมชาติไปใช้ในชีวิตประจำวันมากที่สุด  ในการแลกเปลี่ยน  ซื้อ – ขาย  หรือการนับ  และมนุษย์จะนับเลขเริ่มจาก 1, 2, 3, 4, 5, … ไปเรื่อยๆ เสมอไม่นิยมนับเลข -1, -2, -3, -4 นอกจาก นำมาใช้ในบางกรณีเท่านั้น  ดังนั้น เราจึงละไว้ในฐานที่เข้าใจว่า  จำนวนนับ คือ จำนวนธรรมชาติ และจำนวนเต็มบวก

                ให้ N  แทนเซตของจำนวนนับ  สมาชิกของ N คือ 1, 2, 3, 4, …

                นั่นคือ  N  = {1, 2, 3, 4, …}

10. เส้นจำนวน (Number Line)

                ลากเส้นตรงเส้นหนึ่ง  เกิดจากจุดหลายๆ จุดมาเรียงต่อกันไปตามแนวตั้ง หรือแนวนอนก็ได้ โดยเริ่มจากจุดกำเนิด (Origin) ซึ่งถือว่าเป็นจุดเดียวกับจำนวนจริง 0 ดังนั้น บนเส้นตรงให้มีจุดนี้แทนจำนวนศูนย์จุด บนเส้นตรงขวามือของ 0 เป็นจำนวนเต็มบวกแทนด้วย 1, 2, 3, 4, … โดยมีระยะห่างจาก 0 เป็น 1 หน่วย , 2 หน่วย , 3 หน่วย , ... ตามลำดับ และเลือกจุดบนเส้นจำนวนทางซ้ายมือของ 0 เป็นจำนวนเต็มลบแทนด้วย -1, -2 , -3 ,… โดยมีระยะห่างจาก 0 เป็น 1 หน่วย , 2 หน่วย , 3 หน่วย , ... ตามลำดับ ดังรูป

ถ้ากำหนดจำนวนจริงจำนวนหนึ่งมาให้ จะมีจุดบนเส้นตรงนี้เพียงจุดเดียวเท่านั้นที่แทนจำนวนนั้นได้  เช่น    1/2  จะแทนที่ด้วยจุดที่อยู่ทางขวามือของ  0  ห่างจาก  0  เป็นระยะทาง  1/2  หน่วย -
  แทนได้ด้วยจุดที่อยู่ทางซ้ายมือของ 0 และห่างจาก 0 เป็นระยะทาง     หน่วย

ในทางตรงกันข้ามเมื่อกำหนดจุดๆหนึ่ง บนเส้นตรงมาให้  ก็จะมีจำนวนจริงจำนวนเดียวเท่านั้นแทนที่ด้วยจุดที่กำหนดให้ กล่าวคือ สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสมาชิกในเซตของจุดบนเส้นตรง และเรียกเส้นตรงนี้ว่าเส้นจำนวน

จากเส้นจำนวนเราสามารถเห็นภาพของจำนวนต่างๆ เหล่านั้นโดยชัดเจนว่าจำนวนใดมากหรือน้อยกว่ากัน โดยให้ถือหลักว่าจำนวนที่อยู่ทางขวามือ ย่อมมีค่ามากกว่าจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือ เช่น -2 มีค่าน้อยกว่า -1 เพราะว่า -1 อยู่ทางขวามือของ -2

a กับ –a อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะทางเท่ากัน แต่อยู่คนละข้างของ 0 ดังนั้น  มีเพียงจำนวนเดียวเท่านั้นเป็นจำนวนตรงข้ามของจำนวนจริง a ถ้า a เป็นจำนวนบวก –a จะเป็นจำนวนลบ และถ้า a เป็นจำนวนลบ –a จะเป็นจำนวนบวก

ตัวอย่าง 1.2

                ถ้า  a  =  3            แล้ว        -a  =  -3

                ถ้า  a  = -5            แล้ว        -a  = -(-5)

                แต่จำนวนตรงข้ามของ  -5  คือ  5  ดังนั้นจะได้ว่า  -(-5)  = 5